等比数列計算ツール

等比数列は貯蓄口座の増加から細菌の増殖、さらにはハノイの塔のようなパズルまで、さまざまな場面で現れます。これらの数列の仕組みを理解することで、数学、金融、科学の問題解決が容易になります。等比数列とは何か、その構造、そしてその広範な活用理由を解説しましょう。

等比数列とは？

等比数列は、前の項に一定の数（公比）を掛けて次の項を求める数の列です。この公比は1より大きく成長を示す場合や、0と1の間で減衰を示す場合、さらには負の値で符号が交互に変わる場合もあります。

例えば：

• 2,6,18,54,… は公比が3（各項は前の項の3倍）。

• 100,50,25,12.5,… は公比が0.5（各項は半分に減る）。

等比数列は、加算または減算で一定の差を足していく等差数列とは異なり、乗算が基本です。これにより、利率、投資、自然現象のようなパーセンテージ変化や指数関数的成長・減衰のモデリングに最適です。加算パターンにも関心がある場合は、当社の等差数列計算ツールをご利用ください。

等比数列の公式

等比数列を扱うには、基本となる2つの公式があります：

1. 第n項の公式

前の項を全て列挙せずに任意の項を見つける方法です：

aₙ = a₁ × r⁽ⁿ⁻¹⁾

ここで：

• aₙ は求めたい項、

• a₁ は最初の項、

• r は公比、

• n は項の位置を示します。

2. 有限等比級数の和

最初のn項を合計する際には：

Sₙ = a₁ × (1 − rⁿ) ÷ (1 − r) (r ≠ 1)

この公式は、総利息算出や複数世代後の人口予測など、さまざまな場面で利用されます。

豆知識：アインシュタインは複利（等比数列に従う現象）を「世界の第八の不思議」と称しました。繰り返し乗算で急速に増えるためです。

これらの公式は、単純な数学の演習から複雑な金融モデルまで、等比数列の問題解決の基盤を成しています。数列以外の数学問題にも対応したい場合は、当社の数学計算ツールをご覧ください。方程式、比率、その他の数学機能をカバーしています。

等比数列の問題解法方法

等比数列の問題を解く際の主な手順は、共通比の特定、特定の項の計算、場合によっては和の計算の3つにまとめられます。

1. 公比(r)の求め方

公比は隣り合う項同士の比で求められ、以下の式で表されます：

r = aₙ ÷ a₍ₙ₋₁₎

任意の連続する2項で後の項を前の項で割るだけです。

例：数列 3, 6, 12, 24, … の場合：

r = 6 ÷ 3 = 2

2. 任意の項の計算

r と最初の項 a₁ が分かれば、以下で任意の項を計算可能です：

aₙ = a₁ × r⁽ⁿ⁻¹⁾

例：5, 15, 45, …（r = 3）の第10項：

a₁₀ = 5 × 3⁹ = 5 × 19,683 = 98,415

3. 有限級数と無限級数の和の計算

複数の項の和が必要な場合（例えば、累積成長の計算）は以下を使用します：

Sₙ = a₁ × (1 − rⁿ) ÷ (1 − r), r ≠ 1

無限級数で |r| < 1（項が小さくなり収束する場合）は、和は次のようになります：

S∞ = a₁ ÷ (1 − r)

例（無限級数）： 10, 5, 2.5, … （r = 0.5）の場合：

S∞ = 10 ÷ (1 − 0.5) = 20

豆知識
跳ね返るボールが毎回前回の半分の高さまで跳ねる問題は、無限等比級数の現実例です。理論的には永遠に跳ね続けますが、総移動距離は有限であることが示されています。

等比数列と他の数列の違い

等比数列は乗算に基づきますが、すべての数列がそうではありません。よく見かける他の2種類は等差数列とフィボナッチ数列です。これらの違いを理解することで、適切な問題解決法を選べます。

等比数列と等差数列の比較

• 等比数列は各項を一定の公比で乗じていきます（例：3,6,12,24,… 公比=2）。

• 等差数列は各項に一定の差を加減します（例：3,6,9,12,… 差=3）。

加算パターンに関心がある場合は、当社の等差数列計算ツールをお試しください。

等比数列とフィボナッチ数列の比較

• フィボナッチ数列は固定の公比や差はなく、各項が直前の2つの項の和になっています：1,1,2,3,5,8,…。

• 自然界の螺旋形状やひまわりの種の配置などに見られ、成長のモデリングに使われますが、等比数列のように固定の比率で増加しません。

フィボナッチパターンに興味がある場合は、当社のフィボナッチ数列計算ツールをご利用ください。その他の数列タイプは、当社のナンバーシーケンス計算ツールで探索可能です。